Stupid Divisibility Tricks

Marc Renault

 

 

The article Stupid Divisibility Tricks: 101 Ways to Stupefy Your Friends appeared in Math Horizons, November 2006.

 

PowerPoint slides for a presentation at MathFest in August, 2006.

 

Stupid Divisibility Tricks Summary

Marc Renault

Suppose you have a number n that you wish to check for divisibility by d.

Ending digits: the number of ending digits of n to check for divisibility by d.

Add blocks: take the digits of n in blocks of the given length, and add them (or add and subtract alternately) starting from the right. d | n iff d divides the result.

Right trim 1: remove the rightmost digit of n, multiply it by the number in the column, and add that to the remaining digits of n. d | n iff d divides the result.

Right trim 2: like above, but remove the two rightmost digits of n.

Left trim 1: remove the leftmost digit of n, multiply it by the given number, shift in two places to the right, and add to the remaining digits of n. d | n iff d divides the result.

Use other tricks: apply divisibility tests for smaller divisors.

 

d

end digits

add blocks

right trim 1

right trim 2

left trim 1

use other tricks

2

1

 

 

 

 

 

3

 

1, 2, 3

1, -2

1, -2

 

 

4

2

 

 

 

 

 

5

1

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

2 3

7

 

3

5, -2

4, -3

2

 

8

3

 

 

 

 

 

9

 

1, 2, 3

1

1

 

 

10

1

 

 

 

 

2 5

11

 

1, 2, 3

-1

1

 

 

12

 

 

 

 

 

3 4

13

 

3

4, -9

3, -10

-4

 

14

 

 

 

 

2

2 7

15

 

 

 

 

 

3 5

16

4

 

 

 

 

 

17

 

 

-5

8, -9

 

 

18

 

 

 

 

 

2 9

19

 

 

2

4

5

 

20

2

 

 

 

 

4 5

21

 

 

-2

4

-5

3 7

22

 

 

 

 

 

2 11

23

 

 

7

3, -20

 

 

24

 

 

 

 

 

8 3

25

2

 

 

 

 

 

26

 

 

 

 

 

2 13

27

 

3

-8

10

 

 

28

 

 

 

 

 

4 7

29

 

 

3

-20

 

 

30

 

 

 

 

 

2 3 5

31

 

 

-3

 

 

 

32

5

 

 

 

4

 

33

 

2

10

 

1

3 11

34

 

 

 

 

-2

2 17

35

 

 

 

 

-5

5 7

36

 

 

 

 

 

4 9

37

 

3

-11

10

 

 

38

 

 

 

 

 

2 19

39

 

 

4

 

 

3 13

40

3

 

 

 

 

8 5

41

 

 

-4

 

 

 

42

 

 

 

 

 

2 3 7

43

 

 

-30

40, -3

 

 

44

 

 

 

 

 

4 11

45

 

 

 

 

 

9 5

46

 

 

 

 

 

2 23

47

 

 

 

8

 

 

48

 

 

 

 

4

16 3

49

 

 

5

 

2

 

50

2

 

 

 

 

2 25

51

 

 

-5

 

-2

 

52

 

 

 

 

-4

4 13

53

 

 

 

-9

-6

 

54

 

 

 

 

 

2 27

55

 

 

 

 

 

5 11

56

 

 

 

 

 

8 7

57

 

 

40

4

 

3 19

58

 

 

 

 

 

2 29

59

 

 

6

 

 

 

60

 

 

 

 

 

4 3 5

61

 

 

-6

 

 

 

62

 

 

 

 

 

2 31

63

 

 

 

 

 

9 7

64

6

 

 

 

 

 

65

 

 

 

 

 

5 13

66

 

 

 

 

 

2 3 11

67

 

 

-20

-2

 

 

68

 

 

 

 

 

4 17

69

 

 

7

-20

 

3 23

70

 

 

 

 

 

2 5 7

71

 

 

-7

 

 

 

72

 

 

 

 

 

8 9

73

 

4

 

 

 

 

74

 

 

 

 

 

2 37

75

 

 

 

 

 

3 25

76

 

 

 

 

 

4 19

77

 

3

 

-10

 

7 11

78

 

 

 

 

 

2 3 13

79

 

 

8

 

 

 

80

4

 

 

 

 

16 5

81

 

 

-8

 

 

 

82

 

 

 

 

 

2 41

83

 

 

25

 

 

 

84

 

 

 

 

 

4 3 7

85

 

 

 

 

 

5 17

86

 

 

 

 

 

2 43

87

 

 

 

-20

 

3 29

88

 

 

 

 

 

8 11

89

 

 

9, -80

-8

 

 

90

 

 

 

 

 

2 9 5

91

 

3

-9

-10

 

7 13

92

 

 

 

 

 

4 23

93

 

 

 

40

 

3 31

94

 

 

 

 

 

2 47

95

 

 

 

 

5

5 19

96

 

 

 

 

4

32 3

97

 

 

 

 

3

 

98

 

 

 

 

2

2 49

99

 

2

10

1

1

9 11

100

2

 

 

 

 

4 25