Stupid Divisibility Tricks

Marc Renault

 

 

The article Stupid Divisibility Tricks: 101 Ways to Stupefy Your Friends appeared in Math Horizons, November 2006.

 

PowerPoint slides for a presentation at MathFest in August, 2006.

 

Stupid Divisibility Tricks Summary

Marc Renault

                                               

Suppose you have a number  n  that you wish to check for divisibility by d.

                                               

Ending digits: the number of ending digits of n to check for divisibility by  d.

Add blocks: take the digits of n in blocks of the given length, and add them (or add and subtract alternately) starting from the right.  d | n iff d divides the result.

Right trim 1: remove the rightmost digit of n, multiply it by the number in the column, and add that to the remaining digits of n.  d | n iff d divides the result.

Right trim 2: like above, but remove the two rightmost digits of n.

Left trim 1: remove the leftmost digit of n, multiply it by the given number, shift in two places to the right, and add to the remaining digits of n.  d | n iff d divides the result. 

Use other tricks: apply divisibility tests for smaller divisors.

 

d

end digits

add blocks

right trim 1

right trim 2

left trim 1

use other tricks

2

1

 

 

 

 

 

3

 

1, 2, 3

1, -2

1, -2

 

 

4

2

 

 

 

 

 

5

1

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

2  3

7

 

±3

5, -2

4, -3

2

 

8

3

 

 

 

 

 

9

 

1, 2, 3

1

1

 

 

10

1

 

 

 

 

2  5

11

 

±1, 2, ±3

-1

1

 

 

12

 

 

 

 

 

3  4

13

 

±3

4, -9

3, -10

-4

 

14

 

 

 

 

2

2  7

15

 

 

 

 

 

3  5

16

4

 

 

 

 

 

17

 

 

-5

8, -9

 

 

18

 

 

 

 

 

2  9

19

 

 

2

4

5

 

20

2

 

 

 

 

4  5

21

 

 

-2

4

-5

3  7

22

 

 

 

 

 

2  11

23

 

 

7

3, -20

 

 

24

 

 

 

 

 

8  3

25

2

 

 

 

 

 

26

 

 

 

 

 

2  13

27

 

3

-8

10

 

 

28

 

 

 

 

 

4  7

29

 

 

3

-20

 

 

30

 

 

 

 

 

2  3  5

31

 

 

-3

 

 

 

32

5

 

 

 

4

 

33

 

2

10

 

1

3  11

34

 

 

 

 

-2

2  17

35

 

 

 

 

-5

5  7

36

 

 

 

 

 

4  9

37

 

3

-11

10

 

 

38

 

 

 

 

 

2  19

39

 

 

4

 

 

3  13

40

3

 

 

 

 

8  5

41

 

 

-4

 

 

 

42

 

 

 

 

 

2  3  7

43

 

 

-30

40, -3

 

 

44

 

 

 

 

 

4  11

45

 

 

 

 

 

9  5

46

 

 

 

 

 

2  23

47

 

 

 

8

 

 

48

 

 

 

 

4

16  3

49

 

 

5

 

2

 

50

2

 

 

 

 

2  25

51

 

 

-5

 

-2

 

52

 

 

 

 

-4

4  13

53

 

 

 

-9

-6

 

54

 

 

 

 

 

2  27

55

 

 

 

 

 

5  11

56

 

 

 

 

 

8  7

57

 

 

40

4

 

3  19

58

 

 

 

 

 

2  29

59

 

 

6

 

 

 

60

 

 

 

 

 

4  3  5

61

 

 

-6

 

 

 

62

 

 

 

 

 

2  31

63

 

 

 

 

 

9  7

64

6

 

 

 

 

 

65

 

 

 

 

 

5  13

66

 

 

 

 

 

2  3  11

67

 

 

-20

-2

 

 

68

 

 

 

 

 

4  17

69

 

 

7

-20

 

3  23

70

 

 

 

 

 

2  5  7

71

 

 

-7

 

 

 

72

 

 

 

 

 

8  9

73

 

±4

 

 

 

 

74

 

 

 

 

 

2  37

75

 

 

 

 

 

3  25

76

 

 

 

 

 

4  19

77

 

±3

 

-10

 

7  11

78

 

 

 

 

 

2  3  13

79

 

 

8

 

 

 

80

4

 

 

 

 

16  5

81

 

 

-8

 

 

 

82

 

 

 

 

 

2  41

83

 

 

25

 

 

 

84

 

 

 

 

 

4  3  7

85

 

 

 

 

 

5  17

86

 

 

 

 

 

2  43

87

 

 

 

-20

 

3  29

88

 

 

 

 

 

8  11

89

 

 

9, -80

-8

 

 

90

 

 

 

 

 

2  9  5

91

 

±3

-9

-10

 

7  13

92

 

 

 

 

 

4  23

93

 

 

 

40

 

3  31

94

 

 

 

 

 

2  47

95

 

 

 

 

5

5  19

96

 

 

 

 

4

32  3

97

 

 

 

 

3

 

98

 

 

 

 

2

2  49

99

 

2

10

1

1

9  11

100

2

 

 

 

 

4  25